Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；

（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．
（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O直径，

∴∠BCA=90°，

∵OF∥BC，

∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，

∴OF⊥AC，

∵OC=OA，

∴∠B=∠1，

∴∠3=∠2，

在△OAF和△OCF中，

，

∴△OAF≌△OCF（SAS），

∴∠OAF=∠OCF，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠OCF=90°，

∴∠OAF=90°，

∴FA⊥OA，

∴AF是⊙O的切线；

（2）解：∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，

∴OF= = =5

∵FA⊥OA，OF⊥AC，

∴AC=2AE，△OAF的面积= AFOA= OFAE，

∴3×4=5×AE，

解得：AE= ，

∴AC=2AE= ．

【解析】（1）要证切线可证垂直，由CF是切线须连接OC，得垂直，证出△OAF≌△OCF，得到∠OAF=∠OCF，由切线得∠OCF=90°，进而∠OAF=90度，证出切线;（2）由面积法先求出AE，进一步求出AC.