Question

【题目】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．直线PE从B点出发，以2cm/s的速度向点A方向运动，并始终与BC平行，与AC交于点E．同时，点F从C点出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动，设运动时间为t （s）（0＜t＜5）．

（1）当t为何值时，四边形PFCE是矩形？
（2）设△PEF的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF的面积是△ABC面积的 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接BE，是否存在某一时刻t，使PF经过BE的中点？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AB= = =10，

∵PE∥BC，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴PE= （10﹣2t），AE= （10﹣2t），

当PE=CF时，四边形PECF是矩形，

∴ （10﹣2t）=t，

解得t=

（2）解：S= PECE= × （10﹣2t）×[8﹣ （10﹣2t）]=﹣ t2+ t
（3）解：假设存在．由题意﹣ t2+ t= × ×6×8，

整理得t2﹣5t=5=0，

解得t= ，

∴t= 时，△PEF的面积是△ABC面积的

（4）解：当PE=BF时，PF经过BE的中点．

则有 （10﹣2t）=6﹣t，

解得t=0，不合题意，

∴不存在某一时刻t，使PF经过BE的中点．

【解析】（1）首先依据勾股定理求得AB的长，然后由PE∥BC，可得到△APE∽△ABC，依据相似三角形的性质可得到PE与t的关系式，最后，由当PE=CF时，四边形PECF是矩形，列出方程求解即可；
（2）由（1）可得到PE、CE的长，然后再根据S=,PECE计算即可；
（3）假设存在．然后由△PEF的面积=△ABC面积的列方程求解即可.
（4）当PE=BF时，PF经过BE的中点．则有（10-2t）=6-t，从而可作出判断.