Question

【题目】用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数之和为m，内部的格点个数为n，试探究S与m、n之间的关系式．

（1）根据图中提供的信息填表：

	格点多边形各边上的 格点的个数	格点边多边形内部的 格点个数	格点多边形的面积
多边形1	4	1	2
多边形2	5	2	②
多边形3	6	3	5
多边形4	①	4
一般格点多边形	m	n	S

则S=（用含m、n的代数式表示）
（2）对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，如图1、2是该正三角形格点中的两个多边形：设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数之和为m，内部的格点个数为n，试探究S与m、n之间的关系式．则S与m、n之间的关系为S=（用含m、n的代数式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）,5,S= m+n﹣1
（2）m+2（n﹣1）
【解析】解：（1）多边形2的面积= ×1+ ×3×1= ，多边形4的边上的格点数的和为5，

因为2= ×4+1﹣1； = ×5+2﹣1；5= ×6+3﹣1； = ×5+4﹣1，

所以S= m+n﹣1，

所以答案是： ，5，S= m+n﹣1；（2）因为图1中，m=8，n=1，S=8，8=8+2（1﹣1），图2中，m=7，n=3，S=11，11=7+2（3﹣1），

所以S=m+2（n﹣1）．

所以答案是:m+2（n﹣1）．