Question

【题目】阅读理解：德国著名数学家高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并有"数学王子"的美誉.高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：

令 ①

②

（右边相加100+1=2+99=3+98=…..=100+1共100组）

①＋②：有2S=101x100 解得：

（1）请参照以上做法，回答，3+5+7+9+…..+97= ；

请尝试解决下列问题：

如下图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推．

（2）填写下表：

层数	1	2	3	4
该层对应的点数	1	6	12	18
所有层的总点数的和	1	7	19

①写出第n层所对应的点数；（n≥2）

②如果某一层共96个点，求它是第几层；

③写出n层的六边形点阵的总点数.

Answer 1

【答案】（1）2400；（2）①详见解析；②（≥2）；③17层④.

【解析】

（1）用倒序相加法计算即可；

（2）根据六边形有六条边，则第一层有1个点，第二层有2×6-6=6（个）点，第三层有3×6-6=12（个）点，推而广之即可求解．然后根据得到的通项公式求出相应题目的解即可．①根据通项公式即可得出结果；②由题意得6（n-1）=96，解n即可；③据通项公式即可得出结果.

（1）3+5+7+9+…..+97=×2×（3+5+7+9+…..+97）=×48×100=2400，

故答案为：2400；

（2）第一层上的点数为1；

第二层上的点数为6=1×6；

第三层上的点数为6+6=2×6；

第四层上的点数为6+6+6=3×6；

…

第n层上的点数为（n-1）×6，

所以n层六边形点阵的总点数为：1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+6[（1+2+3+…+n-1）+（n-1+n-2+…+3+2+1）]÷2=1+6×=1+3n（n-1）；

（1）填表如下：

层数	1	2	3	4
该层对应的点数	1	6	12	18
所有层的总点数	1	7	19	37

①根据分析可得第n层的点数之和为6（n-1）；

②由题意得：6（n-1）=96，

解得：n=17，

故第17层共有96个点；

③根据分析可得共有n层时的点数之和为1+3n（n-1）.