Question

【题目】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．
（1）小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC= ．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．

（2）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）110°
（2）解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：

如图3，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）解：当P在BA延长线时，∠CPD=∠β﹣∠α；

理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α；

当P在BO之间时，∠CPD=∠α﹣∠β．

理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β．

【解析】解：过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE=180°﹣∠A=50°，∠CPE=180°﹣∠C=60°，

∴∠APC=50°+60°=110°，

所以答案是：110°；
∠CPD=∠α+∠β，理由如下：

（1）如图3，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β﹣∠α；

理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α；

当P在BO之间时，∠CPD=∠α﹣∠β．

理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β．

首先过P作PE∥AB，然后依据平行线的性质可得到∠APC=50°+60°=110°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，依据平行公理的推理可得到AD∥PE∥BC，接下来，再依据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）首先画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），然后根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.

【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线的性质的相关知识，掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．