Question

【题目】如图1，长方形ABCD中，AB=CD=7cm，AD=BC=5cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，点E在线段AB上以lcms的速度由点A向点B运动，与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动的时间均为ts．

（1）若点F的运动速度与点E的运动速度相等，当t=2时：

①判断△BEF与△ADE是否全等？并说明理由；

②求∠EDF的度数．

（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”，且∠A=∠B=70°，AB=7cm，AD=BC=5cm，其他条件不变．设点F的运动速度为xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF与△ADE全等？若存在，直接写出相应的x及t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①△BEF≌△ADE；②由①得DE=EF，∠BEF=∠ADE；（2）存在，①如图2，当△DAE≌△EBF时，x=1，t=2；②如图3，当△ADE≌△BFE时，AE=BE，AD=BF，x=，t=．

【解析】

根据SAS证明：≌；
由：≌得，，证明是等腰直角三角形可得结论；
分两种情况：如图2，当≌时，如图3，当≌时，分别根据，，列方程组可得结论．

解：（1）①△BEF≌△ADE，理由如：

当t=2时，AE=BF=2，

∴BE=AB-AD=7-2=5，

∵AD=5，

∴BE=AD，

∵∠A=∠B=90°，

∴△BEF≌△ADE；

②由①得DE=EF，∠BEF=∠ADE，

∵∠A=90°，

∴∠ADE+∠AED=90°，

∴∠BEF+∠AED=90°，

∴∠DEF=180°-（∠BEF+∠AED）=90°，

∵DE=EF

∴∠EDF=∠EFD，

∵∠EDF+∠EFD=90°，

∴∠EDF=45°；

（2）存在，

①如图2，当△DAE≌△EBF时，

∴AD=BE，AE=BF，

则

∴x=1，t=2；

②如图3，当△ADE≌△BFE时，AE=BE，AD=BF，

则，

∴x=，t=．