Question

【题目】如图，△ACB与△CED都是等腰直角三角形，∠BCA=∠DCE=90°，且点D在线段AB上，连接AE．

（1）求证：①△BCD≌△ACE；②∠DAE=90°；

（2）若AB=8，当点D在线段AB上什么位置时，四边形ADCE的周长最小？请说明并求出周长的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②90°；（2）点D是AB中点时，四边形ADCE的周长最小，最小值为16．

【解析】

判断出，，，即可得出结论；
利用全等三角形的性质得出，即可得出结论；
先判断出，进而判断出时，CD最小，即可得出结论．

（1）证明：①∵△ACB与△CED都是等腰直角三角形，∠BCA=∠DCE=90°，

∴BC=AC，CD=CE，∠BCD=∠ACE．

在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE（SAS）；

②∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠BAC=45°，

由①知，△BCD≌△ACE，

∴∠ABC=∠EAC，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=45°+45°=90°；

（2）∵△CDE是等腰直角三角形，

∴CD=CE，

由（1）知，△BCD≌△ACE，

∴BD=AE，

∴l四边形ADCE=AD+AE+CE+CD=AB+2CD=8+2CD，

要四边形ADCE的周长最小，

∴CD最小，

∵点D在AB上，

∴CD⊥AB时，CD最小，

∵AC=BC，

∴AD=BD．

即：点D是AB的中点，

∵△ABC是等腰直角三角形，AB=8，

∴CD最小=4，

∴l四边形ADCE最小=8+2CD最小=8+2×4=16，

即：点D是AB中点时，四边形ADCE的周长最小，最小值为16．