Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，

（1）求证：直线EP为⊙O的切线；

（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BFBO．试证明BG=PG；

（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4．

【解析】试题分析：（1）证明：连结OP，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，又∵∠EGP=∠BGF，∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°，∴直线EP为⊙O的切线；

（2）证明：如图，连结OG，OP，∵BG2=BFBO，∴=，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO=∠BFG=90°，由垂径定理知：BG=PG；

（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，∵sinB=，∴=，∵OB=r=3，∴OG=，由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°，∴∠B=∠OGF，∴sin∠OGF==，∴OF=1，∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在Rt△BCA中， CF2=BFFA，∴CF===2．∴CD=2CF=4．