Question

【题目】如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上的中点，连接DE，并延长DE至点F，使EF=ED，连接AD，AF，BF，CF，线段AD与BF相交于点O，过点D作DG⊥BF，垂足为点G.

(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；

(2)当时，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由；

(3)若∠CBF=2∠ABF，求证：AF=2OG．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)四边形ADCF是矩形，理由见解析；(3)证明见解析.

【解析】

（1）欲证明四边形ABDF是平行四边形，只要证明AF∥BD，AF=BD即可．

（2）结论：四边形ADCF是矩形，只要证明∠DAF=90°即可．

（3）作AM⊥DG 于M，连接BM，先证明AM=2OG，再证明AM=AF即可解决问题．

（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AC上的中点，

∴ED∥AB，AE=CE，

∵EF=ED，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∴AF∥BC，

∴四边形ABDF是平行四边形；

（2）四边形ADCF是矩形．

理由：∵AE=DF，EF=ED，

∴AE=EF=DE，

∴∠EAF=∠AFE，∠DAE=∠ADE，

∴∠DAF=∠EAF+∠EAD=×180°=90°，

由（1）知：四边形ADCF是平行四边形；

∴四边形ADCF是矩形；

（3）证明：作AM⊥DG 于M，连接BM．

∵四边形ABDF是平行四边形，

∴OA=OD，∵OG∥AM，

∴GM=GD，

∴AM=2OG，

∵BG⊥DM，GM=GD，

∴BM=BD，

∴∠CBF=∠MBG，

∵∠CBF=2∠ABF，

∴∠ABM=∠ABF，

∵AM∥BF，

∴∠MAB=∠ABF，

∴∠MAB=∠MBA，

∴AM=BM=BD=AF=2OG，

∴AF=2OG．