Question

【题目】【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为≥0，所以 ≥0，所以≥2，只有当时，等号成立．

【获得结论】在≥2（a、b均为正实数）中，若为定值，则≥2，只有当时， 有最小值2．

根据上述内容，回答下列问题：若>0，只有当= 时， 有最小值 ．

【探索应用】如图，已知A（－3，0），B（0，－4），P为双曲线（＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

Answer 1

【答案】（1）1，2（2）菱形

【解析】分析：（1）根据题目所给信息可知m+≥2，且当m=时等号成立，可得出答案；

（2）可设P（x， ），可表示出AC和BD，则四边形ABCD的面积为S四边形ABCD=2（x+）+12，再利用所给信息可得到其最小值，此时x=3，可得出AC=BD，可得出四边形ABCD为菱形．

详解：（1）根据题目所给信息可知m+≥2，且当m=时等号，∴当m=1时，m+≥2，即当m=1时，m+有最小值2．故答案为：1，2；

（2）设P（x， ），则C（x，0），D（0， ），∴CA=x+3，BD=+4，∴S四边形ABCD=CA×BD=（x+3）（+4），化简得：S=2（x+）+12．∵x＞0， ＞0，∴x+≥2=6，只有当x=，即x=3时，等号成立，∴S≥2×6+12=24，∴四边形ABCD的面积有最小值24，此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，∴四边形ABCD是菱形．