Question

【题目】如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧 上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是 ． （写出所有正确结论的序号） ①若∠PAB=30°，则弧 的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；
③若PB=BD，则PD=6 ；④无论点P在弧 上的位置如何变化，CPCQ为定值．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：如图，连接OP，
∵AO=OP，∠PAB=30°，
∴∠POB=60°，
∵AB=12，
∴OB=6，
∴弧 的长为 =2π，故①错误；
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD∥BC，
∴OP⊥BC，
∴ = ，
∴∠PAC=∠PAB，
∴AP平分∠CAB，故②正确；
若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，
∵OP⊥PD，
∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，
∴∠BOP=∠BPO，
∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，
∴PD= OP=6 ，故③正确；
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
又∵∠ABC=∠APC，
∴∠APC=BAC，
又∵∠ACP=∠QCA，
∴△ACP∽△QCA，
∴ = ，即CPCQ=CA2（定值），故④正确；
所以答案是：②③④．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．