Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于某点（不是原点），称以点为圆心，长为半径的圆为点的半长圆；对于点，若将点的半长圆绕原点旋转，能够使得点位于点的半长圆内部或圆上，则称点能被点半长捕获（或点能半长捕获点）．

（1）如图，在平面直角坐标系中，点，则点的半长圆的面积为__________；下列各点、、、，能被点半长捕获的点有__________；

（2）已知点，，，①如图，点，当时，线段上的所有点均可以被点半长捕获，求的取值范围；②若对于平面上的任意点（原点除外）都不能半长捕获线段上的所有点，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）S=π，B、C两点；（2）①－2≤n≤或≤6n≤2；（2）②＜t＜

【解析】

（1）根据定义，半径为1，直接求面积；根据被捕获的定义，设点到圆心的距离为d，只需r≤d≤3r，即可以捕获；

（2）①利用r≤d≤3r这个性质，分别计算临界点：点E和点F能够被捕获的范围，然后去公共部分即可；

（2）②在上一问的基础上，只需解得的不等式无公共部分，则不能捕获

（1）∵点

∴圆的半径为1，面积为π

根据被捕获的定义，设点到圆心的距离为d，只需r≤d≤3r，即可以捕获

即当1≤d≤3时，点可被捕获

，则d=，不符合；

，d=2，符合；

，d=2，符合；

，d=，不符合

（2）①∵点N(0，n)

∴圆的半径为，所以只需满足≤d≤时，则可被捕获

点E(1，0)，则d=1，要想能够被捕获，则：

≤1≤

解得：≤n≤或≤n≤

点F(1，)，则d=2

同理，≤2≤

解得：≤n≤或≤n≤

合并得：≤n≤或≤n≤

（2）②同上，圆的半径为，所以只需满足≤d≤时，则可被捕获

点E(t，0)，则d=t，要想能够被捕获，则：≤n≤或≤n≤

点F(t，)，则d=，要想能够被捕获，则：≤n≤或≤n≤

∵任意值都不能捕获，∴得到的两个不等式无公共部分，即：

和＞

在结合t＞0，解得：0＜t＜