Question

【题目】如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．

(1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；

(2)若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数；

(3)若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长．

Answer 1

【答案】(1)∠CPD是直径AB的“回旋角”，理由见解析；(2)“回旋角”∠CPD的度数为45°；(3)满足条件的AP的长为3或23．

【解析】

（1）由∠CPD、∠BPC得到∠APD，得到∠BPC＝∠APD，所以∠CPD是直径AB的“回旋角”；（2）利用CD弧长公式求出∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，利用∠CPD为直径AB的“回旋角”，得到∠APD＝∠BPC，∠OPE＝∠APD，得到∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，即点D，P，E三点共线，∠CED＝∠COD＝22.5°，

得到∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，则∠APD＝∠BPC＝67.5°，所以∠CPD＝45°；（3）分出情况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理（2）的方法得到点D，P，F在同一条直线上，得到△PCF是等边三角形，连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于G，

利用sin∠DOG，求得CD，利用周长求得DF，过O作OH⊥DF于H，利用勾股定理求得OP，进而得到AP；在OB上时，同理OA计算方法即可

∠CPD是直径AB的“回旋角”，

理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，

∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠BPC＝∠APD，

∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；

(2)如图1，∵AB＝26，

∴OC＝OD＝OA＝13，

设∠COD＝n°，

∵的长为π，

∴

∴n＝45，

∴∠COD＝45°，

作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，

∴∠BPC＝∠OPE，

∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，

∴∠APD＝∠BPC，

∴∠OPE＝∠APD，

∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，

∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，

∴点D，P，E三点共线，

∴∠CED＝∠COD＝22.5°，

∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，

∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，

∴∠CPD＝45°，

即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，

(3)①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，

∴PF＝PC，

同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，

∵直径AB的“回旋角”为120°，

∴∠APD＝∠BPC＝30°，

∴∠CPF＝60°，

∴△PCF是等边三角形，

∴∠CFD＝60°，

连接OC，OD，

∴∠COD＝120°，

过点O作OG⊥CD于G，

∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，

∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝

∴CD＝，

∵△PCD的周长为24+13，

∴PD+PC＝24，

∵PC＝PF，

∴PD+PF＝DF＝24，

过O作OH⊥DF于H，

∴DH＝DF＝12，

在Rt△OHD中，OH＝

在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，

∴OP＝10，

∴AP＝OA﹣OP＝3；

②当点P在半径OB上时，

同①的方法得，BP＝3，

∴AP＝AB﹣BP＝23，

即：满足条件的AP的长为3或23．