Question

【题目】从A，B两题中任选一题作答：

A.如图，在ΔABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交与点M，N，作直线MN交AB于点E，交BC于点F，连接AF。若AF＝6，FC＝4，连接点E和AC的中点G，则EG的长为__.

B.如图，在ΔABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，点D是边BC的中点，点E在边AC上运动，当DE平分ΔABC的周长时，DE的长为__.

Answer 1

【答案】A.5 B.

【解析】

A.由作法知MN是线段AB的垂直平分线，所以BF=AF=6，然后根据EG是三角形ABC的中位线求解即可；

B. 延长CA到点B′，使AB’等于AB，连接BB′，过点A作AF⊥BB′，垂足为F.由ED平分ΔABC的周长，可知EB′=EC，从而DE为ΔCBB′的中位线，由等腰三角形的性质求出∠B=∠B′=30°，从而BF=，进而可求出DE的长.

A.由尺规作图可得直线MN为线段AB的垂直平分线，

∴BF=AF=6，E为AB中点，

∵点G为AC中点，

∴EG为ΔABC的中位线，

∴EG∥BC且EG ＝BC，

∵BF+FC=10，

∴EG=5；

B.如图所示，延长CA到点B′，使AB’等于AB，连接BB′，过点A作AF⊥BB′，垂足为F.

∵ED平分ΔABC的周长，∴AB+AE+BD=EC+DC.

∵BD=DC，　∴AB+AE=EC.

∵AB=AB′，　∴EB′=EC，

∴DE为ΔCBB′的中位线.

∵∠BAC=60°，

∴ΔBAB′为顶角是120°的等腰三角形 ，

∴∠B=∠B′=30°，

∴AF=1，

∴BF=，

∴BB′=2，　　

∴ED=.

故答案为：A. 5；B.