Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点F（2 ，0），直角GF交y轴正半轴于点G，且∠GFO=30°．

（1）请直接写出点G的坐标；
（2）若⊙O的半径为1，点P是直线GF上的动点，直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B．
①求切线长PB的最小值；
②在直线GF上是否存在点P，使得∠APB=60°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵F（2 ，0），

∴OF=2 ，

∵∠GFO=30°，

∴OG=2，

∴点G的坐标是（0，2）

（2）解：①连接OPOP，如图，

∵PB切⊙OO于点BB，

∴OB⊥PB，

根据勾股定理得PB2=OP2﹣OB2，

∵OB=1，

∴要使BP的值最小，则需OP的值最小，当OP⊥GF时，线段PO最短，

在Rt△PFO，OF=2 ，∠GFO=30°，

∴OP= ，

∴PB= = = ；

②存在，

∵PA、PB均与⊙O相切，

∴OP平分∠APB，

∵∠APB=60°，

∴∠OPB=30°，

∵OB=1，∴OP=2，

∴点P是以点O为圆心，2为半径的圆与直线GF的交点，

即图中的P1、P2两点，连接OP2，

∵OG=2，

∴点P1与点G（0，2）重合，即P1（0，2），

在Rt△GOF中，∠GFO=30°，

∴∠OGF=60°，

∵OG=OP2，

∴△GOP2是等边三角形，

∴GP2=OG=2，已知GF=4，

∴FP2=2，

∴P2为GF的中点，

∴P2（ ，1），

综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，2）或（ ，1）．

【解析】（1）由已知条件得到OF=2 ，解直角三角形即可得到结论；（2）①连接OPOP，根据切线的性质得到OB⊥PB，当OP⊥GF时，线段PO最短，解直角三角形得到OP= ，PB= = =2；
②根据切线的性质和角平分线的定义得到∠OPB=30°，求得OP=2，点P是以点O为圆心，2为半径的圆与直线GF的交点，由于点P1与点G（0，2）重合，即P1（0，2），推出△GOP2是等边三角形求得FP2=2，即可得到结论．