Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点为Q，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；
（2）在该抛物线上求一点P，使得S△PAB=S△ABC ， 求出点P的坐标：
（3）若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E．有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D﹣E﹣O的长度最长．”这个同学的说法正确吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，

∴y=﹣（x+1）（x﹣5）=﹣x2+4x+5，

∴抛物线的解析为y=﹣x2+4x+5；

∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，

∴顶点Q的坐标为（2，9）

（2）

解：在y=﹣x2+4x+5中，当x=0时，y=5，

∴点C的坐标为：（0，5），

设点P的纵坐标为a，

若S△PAB=S△ABC，则|a|=5，

解得a=±5．

当a=5时，﹣x2+4x+5=5，解得x=0（舍去）或x=4，此时点p的坐标为（4，5）；

当a=﹣5时，﹣x2+4x+5=﹣5，解得x=2± ，此时点p的坐标为（2+ ，﹣5）或（2﹣ ，﹣5）；

综上，点p的坐标为（4，5）或（2+ ，﹣5）或（2﹣ ，﹣5）

（3）

解：这个同学的说法不正确

理由：设D（t，﹣t2+4t+5），折线D﹣E﹣O的长度为L，

则L=﹣t2+4t+5+t=﹣（t﹣ ）2+ ．

∵a＜0，

∴当t= 时，L最大值= ．

而当点D与点Q重合时，L=9+2=11＜ ，

∴该同学的说法不正确

【解析】（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，可直接利用交点式求得y=﹣（x+1）（x﹣5）=﹣x2+4x+5，继而求得顶点Q的坐标；（2）首先设点P的纵坐标为a，由S△PAB=S△ABC ， 可得a=±5，然后可得﹣x2+4x+5=±5，继而求得点P的坐标；（3）首先设D（t，﹣t2+4t+5），折线D﹣E﹣O的长度为L，则可得L=﹣t2+4t+5+t，然后求得最大值，即可知这个同学的是否说法正确．