Question

【题目】如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30度．

（1）求∠APB的度数；
（2）当OA=3时，求AP的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，

∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，

∴在四边形OAPB中，

∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°

∵PA、PB是⊙O的切线∴PA=PB，OA⊥PA；

∵∠OAB=30°，OA⊥PA，

∴∠BAP=90°﹣30°=60°，

∴△ABP是等边三角形，

∴∠APB=60°．

（2）解：如图①，连接OP；

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴PO平分∠APB，即∠APO= ∠APB=30°，

又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，

∴AP= =3 ．

方法二：如图②，作OD⊥AB交AB于点D；

∵在△OAB中，OA=OB，

∴AD= AB；

∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30°，

∴AD=OAcos30°= ，

∴AP=AB= ．

【解析】（1）根据等腰三角形的性质，求出∠AOB的度数，根据切线的性质和四边形内角和，求出∠APB的度数；（2）根据垂径定理，得到AD与AB的关系，在Rt△AOD中，根据特殊角的函数值求出AP=AB.