Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF=2AF；②tan∠CAD= ；
③DF=DC；④△AEF∽△CAB；⑤ S四边形CDEF=S△ABF ,其中正确的结论有（ ）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

Answer 1

【答案】D
【解析】如图：过D作DM∥BE交AC于N，
①∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴=，
又∵E是AD边的中点，
∴AE=AD=BC，
∴=，
即CF=2AF.
故①正确.
②∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠BAF=∠ACD，
又∵BE⊥AC，
∴∠AFE=∠ADC=90°，
∴△BAE∽△ADC，
∴=
∵AB=CD，AE=AD，
∴CD=AD，
∴tan∠CAD==.
故②正确.
③∵四边形ABCD为矩形
∴DE∥BM，
∵DM∥BE，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=FN，
又∵BE⊥AC，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DN垂直平分CF，
∴DF=DC，
故③正确.
④∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠EAC=∠ACB，
又∵BE⊥AC，
∴∠AFE=∠ABC=90°，
∴△AEF∽△CAB.
故④正确.
⑤∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴=，
又∵E是AD边的中点，
∴AE=AD=BC，
∴=，
∴S△AEF=S△ABF ，S△AEF=S△ABE，S△ABE=S矩形ABCD，
∴S△ABF=S矩形ABCD，
∴S△AEF=S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD-S矩形ABCD=S矩形ABCD，
∴S四边形CDEF=S△ABF.
故⑤正确.

【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的面积的相关知识，掌握三角形的面积=1/2×底×高，以及对平行四边形的判定与性质的理解，了解若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．