Question

【题目】已知O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点（M与点O，D不重合），以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD．
（1）当点M在线段OD上时（如图1），线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请说明理由；
（2）当点M在线段OD的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：BM=DF，BM⊥DF．

理由：∵四边形ABCD、AMEF是正方形，

∴AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，

∴∠FAM﹣∠DAM=∠DAB﹣∠DAM，

即∠FAD=∠MAB，

∵在△FAD和△MAB中，

，

∴△FAD≌△MAB，

∴BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，

∵∠ADB=45°，

∴∠FDB=45°+45°=90°，

∴BM⊥DF，

即BM=DF，BM⊥DF

（2）

解：BM=DF，BM⊥DF都成立，

理由是：∵四边形ABCD和AMEF均为正方形，

∴AB=AD，AM=AF，∠BAD=∠MAF=90°，

∴∠FAM+∠DAM=∠DAB+∠DAM，

即∠FAD=∠MAB，

∵在△FAD和△MAB中，

，

∴△FAD≌△MAB，

∴BM=DF，∠ABM=∠ADF，

由正方形ABCD知，∠ABM=∠ADB=45°，

∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°，

即BM⊥DF，

∴（1）中的结论仍成立

【解析】（1）根据正方形性质求出AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，推出∠FAD=∠MAB，证△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，求出∠ADB=45°即可；（2）与（1）类似，根据正方形性质，推出∠FAD=∠MAB，判定△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，求出∠ADB=45°即可．
【考点精析】掌握正方形的性质是解答本题的根本，需要知道正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．