Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AE是高，AF是△ABC外角∠CAD的平分线．
（1）用尺规作图：作∠AEC的平分线EN（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）设EN与AF交于点M，判断△AEM的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，射线EN即为所求；

（2）解：△ADF是等腰直角三角形．

在△ABC中，

∵AB=AC，AE⊥BC，

∴AE平分∠BAC，

∴∠EAC= ∠BAC．

∵AF平分∠CAD，

∴∠CAF= ∠CAD，

∴∠EAF= （∠BAC+∠CAD）= ×180°=90°，

∵∠AEC=90°，EN是∠AEC的平分线，

∴∠AEM=45°，

∴∠AME=45°，

∴AE=AM，即△AEM是等腰直角三角形．

【解析】（1）根据角平分线的作法作∠AEC的平分线EN即可；（2）先根据题意得出AE平分∠BAC，再由AF是△ABC外角∠CAD的平分线可得出∠EAM=90°，根据EN是∠AEC的平分线可得出∠AEM=45°，据此可得出结论．