Question

【题目】如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．

（1）将下面的表格补充完整：

正多边形的边数	3	4	5	6	……	18
∠α的度数					……

（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=20°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．

（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°，45°，36°，30°，10°；（2）当多边形是正九边形，能使其中的∠α=20°；（3）不存在，理由见解析

【解析】

（1）根据多边形内角和公式求出多边形的内角和，再根据三角形内角和定理求出即可；

（2）根据表中的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可；

（3）根据表中的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可．

（1）填表如下：

正多边形的边数	3	4	5	6	……	18
∠α的度数	60°	45°	36°	30°	……	10°

故答案为：60°，45°，36°，30°，10°；

（2）存在一个正n边形，使其中的∠α=20°，

理由是：根据题意得：=20°，

解得：n=9，

即当多边形是正九边形，能使其中的∠α=20°；

（3）不存在，理由如下：

假设存在正 n 边形使得∠α=21°，得 ，

解得：，又 n 是正整数，

所以不存在正 n 边形使得∠α=21°．