Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于E，EF∥BC交AC于F．

（1）求证：△EDF∽△ADE；
（2）猜想：线段DC，DF、DA之间存在什么关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°，

∵EF∥BC，

∴∠AFE=∠C=90°，

∴∠DFE=∠DEA，

而∠FDE=∠EDA，

∴△EDF∽△ADE；

（2）解：DC2=DFDA．理由如下：

∵△EDF∽△ADE，

∴DE：DA=DF：DE，

即DE2=DFDA，

∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，

∴DE=DC，

∴DC2=DFDA

【解析】（1）两三角形已有直角对应相等，只需再证一个角相等即可，利用余角性质即可；（2）由相似三角形的判定可得出比例式，变形为乘积式.
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)．