Question

【题目】如图，边长为1的正方形ABCD中，P为对角线AC上的任意一点，分别连接PB、PD，PE⊥PB，交CD与E．

（1）求证：PE=PD；
（2）当E为CD的中点时，求AP的长；
（3）设AP=x（0＜x＜ ），四边形BPEC的面积为y，求证：y= （ ﹣x）2 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，

∵四边形ABCD是正方形，正方形是轴对称图形，

∴PB=PD，PG=PH，∠BCD=90°，

∴四边形PGCH是矩形，

∴PG⊥PH，又PE⊥PB，

∴∠BPG=∠EPH，

在△BPG和△EPH中，

，

∴△BPG≌△EPH，

∴PB=PE，又PB=PD，

∴PE=PD

（2）解：∵四边形ABCD是轴对称图形，

∴∠BPC=∠DPC，∠GPC=∠HPC=45°，

∴∠BPG=∠DPH，又∠BPG=∠EPH，

∴∠DPH=∠EPH，又PH⊥CD，

∴DH=EH= DE= CD= ，

∴PH=HC= ，

∴PC= ，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴AC= ，

∴AP=AC﹣PC=

（3）证明：∵AC= ，AP=x，

∴PC= ﹣x，

∵△BPG≌△EPH，

∴四边形BPEC的面积y=正方形PGCH的面积= （ ﹣x）2．

【解析】（1）证线段相等可证全等，因此需作垂线构造全等三角形；（2）求AP可转化为求PC， 可利用正方形的性质和勾股定理即可；（3）通过证出全等转化不规则四边形为规则的正方形.
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．