Question

【题目】如图，点P在射线AB的上方，且∠PAB=45°，PA=2，点M是射线AB上的动点(点M不与点A重合)，现将点P绕点A按顺时针方向旋转60°到点Q，将点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N，连接AQ，PM，PN，作直线QN.

(1)求证:AM=QN.

(2)直线QN与以点P为圆心，以PN的长为半径的圆是否存在相切的情况?若存在，请求出此时AM的长，若不存在，请说明理由.

(3)当以点P为圆心，以PN的长为半径的圆经过点Q时，直接写出劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析； (2)存在.理由见解析； (3)劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积为π.

【解析】

（1）根据旋转的旋转判断出△APQ为等边三角形，再判断出∠APM=∠QPN，从而得出△APM≌△QPN即可；
（2）由直线和圆相切得出∠AMP=∠QNP=90°，再用勾股定理即可求出结论；
（3）先判断出PA=PQ，再判断出PQ=PN=PM，进而求出∠QPM=30°，即可求出∠QPN=90°，最后用扇形的面积公式即可．

(1)如图1,连接PQ,由点P绕点A按顺时针方向旋转60°到点Q,

可得AP=AQ,∠PAQ=60°,

∴△APQ为等边三角形,

∴PA=PQ,∠APQ=60°,

由点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N,

可得PM=PN,∠MPN=60°,

∴∠APM=∠QPN,则△APM≌△QPN(SAS),

∴AM=QN.

(2)存在.理由如下:

如图2,由(1)中的证明可知△APM≌△QPN,

∴∠AMP=∠QNP,

∵直线QN与以点P为圆心,以PN的长为半径的圆相切,

∴∠AMP=∠QNP=90°,即PN⊥QN.

在Rt△APM中,∠PAB=45°,PA=2,

∴AM=.

(3)由(1)知△APQ是等边三角形,

∴PA=PQ,∠APQ=60°.

∵以点P为圆心,以PN的长为半径的圆经过点Q,

∴PN=PQ=PA.

∵PM=PN,

∴PA=PM,

∵∠PAB=45°,

∴∠APM=90°,

∴∠MPQ=∠APM-∠APQ=30°.

∵∠MPN=60°,

∴∠QPN=90°,

∴劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积是扇形QPN的面积,而此扇形的圆心角∠QPN=90°,半径为PN=PM=PA=2.

∴劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积==π.