【题目】如图，已知∠xOy=90°，线段AB=10，若点A在Oy上滑动，点B随着线段AB在射线Ox上滑动(A，B与O不重合)，Rt△AOB的内切圆☉K分别与OA，OB，AB切于点E，F，P.

(1)在上述变化过程中，Rt△AOB的周长，☉K的半径，△AOB外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么?并简要说明理由.

(2)当AE=4时，求☉K的半径r.

(3)当Rt△AOB的面积为S，AE为x，试求S与x之间的函数关系，并求出S最大时直角边OA的长.

参考答案：

【答案】(1)不会发生变化的是△AOB的外接圆半径，理由见解析； (2)r=2；(3)S=-x2+10x，OA=5.

【解析】

(1）根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，AB的长不变，即△AOB的外接圆半径不变；（2）设⊙K的半径为r，连EK、KF，则四边形EOFK是正方形，根据切线长定理，可求得r；
（3）设AO=b，OB=a，可得出r=，即2（b-x）+10=a+b，再由，则S=-x2+10x．再求得该函数的顶点坐标的横坐标．

(1)不会发生变化的是△AOB的外接圆半径.理由如下:

∵∠AOB=90°,

∴AB是△AOB的外接圆的直径.

∵AB的长不变,

∴△AOB的外接圆半径不变.

(2)设☉K的半径为r,☉K与Rt△AOB相切于点E,F,P,连接EK,KF,

∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°,

∴四边形EOFK是矩形.

又∵OE=OF,

∴四边形EOFK是正方形,

∴OE=OF=r,

∵☉K是Rt△AOB的内切圆,切点分别为点E,F,P

,∴AE=AP=4,PB=BF=6,

(4+r)2+(6+r)2=100,解得r=-12(不符合题意),r=2.

(3)设AO=b,OB=a,

∵☉K与Rt△AOB三边相切于点E,F,P,

∴OE=r=,即2(b-x)+10=a+b,

∴10-2x=a-b,

∴100-40x+4x2=a2+b2-2ab.

∵S=ab,

∴ab=2S,

∵a2+b2=102,

∴100-40x+4x2=100-4S,

∴S=-x2+10x=-(x-5)2+25.

∴当x=5时,S最大,即AE=BF=5,

∴OA==5.

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