Question

【题目】（观察发现）：（1）如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系和位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由）

（深入探究）：（2）如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立？请根据图2加以说明．

（拓展应用）：（3）如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点动点Q，连接QA，QB，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接QD．随着动点A、B的移动，线段QD的长也会发生变化，若QA，QB长分别为3，6保持不变，在变化过程中，线段QD的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）DE=BG，DE⊥BG；理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）QD存在最大值为12.

【解析】

观察发现：（1）根据正方形的性质，由SAS证明△BAG≌△DAE，得出DE=BG，∠ABG=∠ADE，再由角的互余关系证出DE⊥BG即可；

深入探究：（2）同（1）证明△BAG≌△DAE，从而证明结论；

拓展应用：（3）以OA为边作正方形QAGF，连接QG、BG，则QG=OA=6，当G、Q、B三点共线时，BG最长，此时BG=QG+QB=12，从而得出答案．

（1）DE=BG，DE⊥BG；理由如下：

延长DE交BG于H，如图1所示：

∵四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形，

∴AB=AD，AG=AE，∠EAD=∠BAG=90°，

在△BAG与△DAE中，

，

∴△BAG≌△DAE（SAS），

∴DE=BG，∠ABG=∠ADE，

∵∠AGB+∠ABG=90°，

∴∠AGB+∠ADE=90°，

∴∠DHG=90°，

∴DE⊥BG；

（2）（1）中的结论成立，即DE=BG，DE⊥BG；

理由如下：如图2所示，

∵四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形，

∴BA=AD，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAD+∠BAE=∠EAG+∠BAE，

即∠BAG=∠DAE，

在△BAG与△DAE中，

，

∴△BAG≌△DAE（SAS），

∴DE=BG，∠ABG=∠ADE

∵∠AMD+∠ADE=90°，∠AMD=∠BME，

∴∠BME+∠ABG=90°，

∴∠DNB=90°，

∴DE⊥BG；

（3）QD存在最大值；理由如下：

以QA为边作正方形QAGF，连接QG、BG，如图3所示：

则QG=QA=6，

由（2）可得：QD=BG，

当G、Q、B三点共线时，BG最长，

此时BG=QG+QB=6+6=12，

即线段QD长的最大值为12．