Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，点D在BC上，过点D作DE⊥BC，交BA或其延长线于点E，过点E作EF⊥BA交AC或其延长线于点F，连接DF．若DF⊥AC，则BD=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得∠C=∠B=30°，BH=CH，再利用三角形外角性质得∠EAF=2∠B=60°，根据含30度角的直角三角形三边的关系得AH=AB=1，BH=AH=，所以BC=2BH=2，同样可得AF=2AE，DF=CD，CF=DF=CD，设BD=x，则CD=2-x，在Rt△BDE中，根据含30度角的直角三角形三边的关系得DE=BD=x，AE=2DE=x，则AE=BE-AB=x-2，然后利用x表示出AF=x-4，CF=（2-x），最后利用AF+CF=AC列方程求解．

详解：作AH⊥BC于H，如图，

∵AB=AC=2，

∴∠C=∠B=30°，BH=CH，

∴∠EAF=2∠B=60°，AH=AB=1，BH=AH=，

∴BC=2BH=2，

∵EF⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AEF=90°，∠DFC=90°，

∴AF=2AE，DF=CD，CF=DF=CD，

设BD=x，则CD=2-x，

在Rt△BDE中，DE=BD=x，

∴BE=2DE=x，

∴AE=BE-AB=x-2，

∴AF=x-4，CF=（2-x），

∵AF+CF=AC，

∴x-4+（2-x）=2，

解得x=，

即BD的长为．