Question

【题目】如图，在ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，猜想：四边形DFBE是什么特殊的四边形？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形

AB=CD，∠A=∠C．

AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．

∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，

∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．

∴∠ABE=∠CDF．

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（SAS）

（2）解：四边形DFBE是矩形．理由如下：

∵AB=DB，BE平分∠ABD，

∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．

∵AB=DB，AB=CD，

∴DB=CD．

∵DF平分∠CDB，

∴DF⊥BC，即∠BFD=90°．

在□ABCD中，∵AD∥BC，

∴∠EDF+∠DEB=180°．

∴∠EDF=90°．

∴∠DEB=∠BFD=∠EDF=90°．

∴四边形DFBE是矩形

【解析】（1）首先利用平行四边形的想得到AB=CD，∠A=∠C，再利用角平分线的性质得到∠ABE=∠CDF，利用ASA证明△ABE≌△CDF；（2）证明∠DEB=∠BFD=∠EDF=90°．即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质和矩形的判定方法的相关知识点，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形才能正确解答此题．