Question

【题目】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C．

（1）若点A（﹣2，0），点B（8，0），求ac的值；

（2）若点A（x1，0），B（x2，0），试探索ac是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

（3）若点D是圆与抛物线的交点（D与 A、B、C 不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）ac=﹣1；（2）ac的值是定值，为﹣1；（3）P的坐标为（2，0）或（﹣，0）或（0， ）或（0，16）．

【解析】试题分析：（1）设圆心点为M，利用A、B的坐标求出圆的半径，然后根据勾股定理求出OC的长，求得C点，然后利用x轴的交点式y=a（x+2）（x﹣8）代入C点的坐标得到函数的解析式即可求解；

（2）根据坐标系中交点的坐标，利用三角形相似的判定得到△OAC∽△OCB，再根据相似三角形的性质，结合一元二次方程根与系数的关系求出ac=-1是一个定值；

（3）根据题意，分为点P在x轴上或点P在y轴上两种情况，结合相似三角形的判定与性质可求P点的坐标.

试题解析：（1）设圆心为点M，

∵A（﹣2，0），B（8，0），

∴M（3，0），⊙M的半径为5，

∴OC==4，

∴C（0，4），

设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣8），

∵点C在抛物线上，

∴a×2×（﹣8）=4，

∴a=﹣，

∴y=﹣（x+2）（x﹣8）=﹣x2+x+4，

∴a=﹣，b=4，

∴ac=﹣1；

（2）ac的值是定值，为﹣1，

理由：∵点A（x1，0），B（x2，0），

∴OA=x1，OB=x2，OC=c，

∵∠OAC+∠OCA=90°，∠OCB+∠OCA=90°，

∴∠OAC=∠OCB，

∵∠AOC=∠BOC=90°，

∴△OAC∽△OCB，

∴，

∴OC2=OAOB，

∴c2=﹣x1x2，

令y=0时，0=ax2+bx+c，

∴x1x2=，

∴c2=﹣，

∴ac=﹣1；

（3）∵点D是圆与抛物线的交点（D与 A、B、C 不重合），C（0，4），

∴D（6，4），即：CD∥AB，

当点P在x轴上时，如图1，设点P的坐标为（m，0），

∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），

∴BC=4，CD=6，BP=8﹣m，

∵CD∥AB，

∴∠BCD=∠ABC，

∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，

∴①，

∴，

∴m=2，

∴P2（2，0），

或②，

∴，

∴m=﹣，

∴P1（﹣，0），

当点P在y轴上时，如图2，

∵CD∥AB，

∴，

∵，

∴，

∴∠ABD=∠BCO，

∵CD∥AB，

∴∠BDC+∠ABC=180°，

∵∠BCO+∠BCy=180°，

∴∠BDC=∠BCy，

设P（0，n），

∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），

∴BC=4，CD=6，BD=2，CP=n﹣4，

∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，

∴①，

∴，

∴n=，

∴P3（0，）

或②，

∴，

∴n=16，

∴P4（0，16），

即：满足条件的点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）或（0，）或（0，16）．