Question

【题目】如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上由点E顺时针向点C运动（点B不与点E、C重合），弦BD交CE于点F，且BD=BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．

（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求圆心O到弦CD的距离；

（2）当DFDB=CD2时，求∠CBD的大小；

（3）若AB=2AE，且CD=12，求△BCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）45°；（3）72．

【解析】试题分析：（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理求出点O到H的距离即可；

（2）根据相似三角形的判定与性质，先证明△CDF∽△BDC，再根据相似三角形的性质可求解；

（3）连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，利用相似三角形的性质判定，求得BH的长，然后根据三角形的面积求解即可.

试题解析：（1）如图，过O作OH⊥CD于H，

∵点D为弧EC的中点，

∴弧ED=弧CD，

∴∠OCH=45°，

∴OH=CH，

∵圆O的半径为2，即OC=2，

∴OH=；

（2）∵当DFDB=CD2时，，

又∵∠CDF=∠BDC，

∴△CDF∽△BDC，

∴∠DCF=∠DBC，

∵∠DCF=45°，

∴∠DBC=45°；

（3）如图，连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，

∵BD=BC，OD=OC，

∴BH垂直平分CD，

又∵AB∥CD，

∴∠ABO=90°=∠EBC，

∴∠ABE=∠OBC=∠OCB，

又∵∠A=∠A，

∴△ABE∽△ACB，

∴，即AB2=AE×AC，

∴AC=，

设AE=x，则AB=2x，

∴AC=4x，EC=3x，

∴OE=OB=OC=，

∵CD=12，

∴CH=6，

∵AB∥CH，

∴△AOB∽△COH，

∴，即，

解得x=5，OH=4.5，OB=7.5，

∴BH=BO+OH=12，

∴△BCD的面积=×12×12=72．