Question

【题目】解答题
（1）操作发现：如图，小明在矩形纸片ABCD的边AD上取中点E，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决：保持（1）中条件不变，若DC=2FC，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：同意．连接EF，则∠EGF=∠D=90°．

∵点E是AD的中点，

∴由折叠的性质知，EG=ED

在Rt△EGF和Rt△EDF中，

，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）．

∴GF=DF

（2）解：由（1）知，GF=DF．设FC=x，BC=y，则有GF=x，AD=y．

∵DC=2FC，

∴DF=x，DC=AB=BG=2x，

∴BF=BG+GF=3x．

在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2．

∴y=2 x

∴ = = ．

【解析】（1）连接EF，则AE=EG，HL可证明Rt△EGF≌Rt△EDF，根据全等三角形的性质即可求解；（2）设FC=x，BC=y，则有GF=x，AD=y．根据DC=2FC得到DF=x，DC=AB=BG=2x，BF=BG+GF=3x，然后利用勾股定理得到y与x之间关系，从而求得两条线段的比．
【考点精析】本题主要考查了矩形的性质和翻折变换（折叠问题）的相关知识点，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能正确解答此题．