Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数）与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC．

（1）求抛物线的解析式．
（2）设点P为抛物线对称轴上的一个动点．
①如图①，若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．
②是否存在点P使△PBC的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数）与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：①∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴P（1，4），且C（0，﹣3），

设直线BC解析式为y=kx+m，则有 ，解得 ，

∴直线BC解析式为y=x﹣3，

设对称轴交BC于点E，如图1，

则E（1，﹣2），

∴PE=﹣2﹣（﹣4）=2，

∴S△PBC= PEOB= ×3×2=3；

②设P（1，t），由①可知E（1，﹣2），

∴PE=|t+2|，

∴S△PBC= OBPE= |t+2|，

∴ |t+2|=6，解得t=2或t=﹣6，

∴P点坐标为（1，2）或（1，﹣6），

即存在满足条件的点P，其坐标为（1，2）或（1，﹣6）

【解析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，可求得b、c的值，可求得抛物线解析式；（2）①由抛物线解析式可求得P、C的坐标，可求得直线BC解析式，设对称轴交直线BC于点E，则可求得E点坐标，可求得PE的长，则可求得△PBC的面积；②设P（1，t），则可用t表示出△PBC的面积，可得到t的方程，则可求得P点坐标．