Question

【题目】如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0）．将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转135°，得到矩形EFGH（点E与O重合）．

（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM=°，OM=；
（2）将矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位．
①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFGH与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0＜t≤4 ﹣2时，S与t之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）45°；2
（2）

解：①如图所示：连接AD，BO

∵AD∥BO，AB∥OD，

∴四边形ADOB为平行四边形，

∴DO=AB=2，

由平移可知：∠HEM=45°，

∴∠OMD=∠ODM=45°，

∴OM=OD=2，

由平移可知：EM=2 ，

∴矩形EFGH平移的路程t=2 ﹣2=2（ ﹣1）；

②分三种情况考虑：

（i）如图1所示，当0＜t≤2时，重叠部分为等腰直角三角形，

此时OE=t，则重叠部分面积S= t2；

（ii）如图2所示，当2＜t≤2 时，重叠部分为直角梯形，

此时S= [（t﹣2）+t]×2=2t﹣2；

（iii）如图3所示，当2 ＜t≤4 ﹣2时，E点在A点下方，重叠部分为五边形，

此时S=（2t﹣2）﹣ （t﹣2 ）2=﹣ t2+2（ +1）t﹣6．

综上，S= ．

【解析】解：（1）如图所示：

由旋转可得：∠AOF=135°，又∠AOC=90°，
∴∠COF=∠AOF﹣∠AOC=45°，又∠MOC=90°，
∴∠FOM=45°，又OF∥HG，
∴∠OMH=∠FOM=45°，又∠H=90°，
∴△OHM为等腰直角三角形，
∴OH=HM=2，
则根据勾股定理得：OM=2 ；
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对梯形的定义的理解，了解一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形．