Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O，且与直线y=x﹣2交于B，C两点．

（1）求抛物线的顶点A的坐标及点B，C的坐标；
（2）求证：∠ABC=90°；
（3）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，

∴抛物线顶点坐标A（1，1），

联立抛物线与直线解析式可得 ，解得 或 ，

∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）

证明：

由（1）可知B（2，0），C（﹣1，﹣3），A（1，1），

∴AB2=（1﹣2）2+12=2，BC2=（﹣1﹣2）2+（﹣3）2=18，AC2=（﹣1﹣1）2+（﹣3﹣1）2=20，

∴AC2=AB2+BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ABC=90°；

（3）

解：如图，过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，

设P（t，﹣t2+2t），则G（t，t﹣2），

∵点P在直线BC上方，

∴PG=﹣t2+2t﹣（t﹣2）=﹣t2+t+2=﹣（t﹣ ）2+ ，

∴S△PBC=S△PGB+S△PGC= PG[2﹣（﹣1）]= PG=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴当t= 时，S△PBC有最大值，此时P点坐标为（ ， ），

即存在满足条件的点P，其坐标为（ ， ）；

（4）

解：∵∠ABC=∠ONM=90°，

∴当△OMN和△ABC相似时，有 = 或 = ，

设N（m，0），

∵MN⊥x轴，

∴M（m，﹣m2+2m），

∴MN=|﹣m2+2m|，ON=|m|，

①当 = 时，即 = ，解得m=5或m=﹣1或m=0（舍去）；

②当 = 时，即 = ，解得m= 或m= 或m=0（舍去）；

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（5，0）或（﹣1，0）或（ ，0）或（ ，0）．

【解析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标；（2）由A、B、C的坐标可求得AB2、BC2和AC2 ， 由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；（3）过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，设出P点坐标，则可表示出G点坐标，从而可表示出PG的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标；（4）设出M、N的坐标，则可表示出MN和ON的长度，由相似三角形的性质可得到关于N点坐标的方程可求得N点坐标．