Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．

（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是 ．
（2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）50°
（2）解：猜想的结论为：∠NMA=2∠B﹣90°．

理由：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠A=180°﹣2∠B，

又∵MN垂直平分AB，

∴∠NMA=90°﹣∠A=90°﹣（180°﹣2∠B）=2∠B﹣90°．

如图：

①∵MN垂直平分AB．

∴MB=MA，

又∵△MBC的周长是14cm，

∴AC+BC=14cm，

∴BC=6cm．

②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．

【解析】解：（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是 50°，
所以答案是：50°；
【考点精析】掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解答本题的根本，需要知道垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．