Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，交⊙O于G，连接GE．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若tan∠G=，BE=4，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）

【解析】试题分析：（1）连结OD，根据AD是角平分线，求出∠C=90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切线；

（2）构造直角三角形，根据勾股定理求出k的值即可；

（3）设FG与AE的交点为M，连结AG，利用三角函数和相似三角形结合勾股定理解题．

试题解析：（1）证明：连结OD．∵DE⊥AD，∴AE是⊙O的直径，即O在AE上．

∵AD是角平分线，∴∠1=∠2．

∵OA=OD，∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．∴OD∥AC．

∵∠C=90°，∴OD⊥BC．∴BC是⊙O的切线．

（2）解：∵OD∥AC，∴∠4=∠EAF．

∵∠G=∠EAF，∴∠4=∠G．

∴tan∠4=tan∠G=．

设BD=4k，则OD=OE=3k．

在Rt△OBD中，由勾股定理得（3k）2+（4k）2=（3k+4）2，

解得，k1=2，k2=（舍），（注：也可由OB=5k=3k+4得k=2），

∴3k=6，即⊙O的半径为6．

　

（3）解：连结AG，则∠AGE=90°，∠EGM=∠5．

∴tan∠5=tan∠EGM=，即， ，

∴，

∴AM=AE==．

∵OD∥AC，∴， ，即， ．

∴AC=，CD=．

∵∠1=∠2，∠ACD=∠AMP=90°，∴△ACD∽△AMP．

∴，∴PM= =．

∴AP==．