Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，．

（1）求的面积；

（2）点为坐标轴上一点，若的面积恰好是面积的一半，求点的坐标．

（3）如图2，过点作轴于点，点为延长线上的一动点，连接平分.当点运动时，与度数之间的数量关系是否会改变？若不变，请直接写出其数量关系；若改变，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）或(0,5)或(0,-5)；（3）与度数之间的数量关系不变，．

【解析】

（1）根据三角形的面积公式计算即可．

（2）分两种情形分别构建方程即可解决问题．

（3）根据平行线的性质及证明∠1＝∠3即可解决问题．

如图1，过点作轴，重足为

，

，

；

如图1，过点作轴，垂足为

由知，

①当点在轴上时，设

解得：

的坐标为

②当点在轴上时，设

解得：

的坐标为

点的坐标为或

（3）结论：∠OPD＝2∠DOE．

理由：如图2，

∵OE平分∠AOP，

∴∠AOE＝∠POE＝∠1＋∠2，

∵OF⊥OE，

∴∠1＋∠2＋∠3＝90°，∠4＋∠AOE＝90°，

∴∠3＝∠4，

∵CD⊥y轴，

∴CD∥AB，

∴∠OPD＝∠POB＝2∠3，

∵∠1＋∠2＋∠3＝90°，∠2＋∠3＋∠4＝90°，

∴∠1＋∠2＋∠3＝∠2＋2∠3，

∴∠1＝∠3，

由∠DOE=∠1，∠OPD=∠POB=2∠1

∴∠OPD＝2∠DOE．