Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．

（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．

Answer 1

【答案】（1）FG与⊙O相切，理由见解析；（2）FG＝．

【解析】

（1）如图，连接OF，根据直角三角形斜边中线的性质可得CD＝BD，即可得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，可得∠OFC＝∠DBC，即可证明OF//DB，根据平行线的性质可推出∠OFG＝90°，即可得到结论；

（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝＝4，根据圆周角定理得到∠DFC＝90°，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得BF＝BC＝2，根据三角函数的定义即可得到结论．

（1）FG与⊙O相切，

理由：如图，连接OF，

∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，

∴CD＝BD，

∴∠DBC＝∠DCB，

∵OF＝OC，

∴∠OFC＝∠OCF，

∴∠OFC＝∠DBC，

∴OF∥DB，

∴∠OFG+∠DGF＝180°，

∵FG⊥AB，

∴∠DGF＝90°，

∴∠OFG＝90°，

∴FG与⊙O相切．

（2）连接DF，

∵CD＝2.5，

∴AB＝2CD＝5，

∵AC=3，

∴BC＝＝4，

∵CD为⊙O的直径，

∴∠DFC＝90°，

∴FD⊥BC，

∵DB＝DC，

∴BF＝BC＝2，

∵sin∠ABC＝，

即，

∴FG＝．