Question

【题目】定义：有一组对边相等目这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．

（1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”；

（2）如图②，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定的形状，并证明；

（3）如图③，四边形是“等垂四边形”，，，试求边AB长的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）是等腰直角三角形．理由见解析；（3）

【解析】

（1）延长交于点，根据四边形与四边形都为正方形，易证，则有，，可证，根据，可证四边形是等垂四边形．

（2）延长交于点，根据四边形是等垂四边形，，有，，，根据点E,F,G分别是AD,BC,BD的中点可得，，，，则可证，即有是等腰直角三角形；

（3）延长交于点分别取的中点，连接，根据，是等腰直角三角形，可得，，即可得出最小值为．

（1）如图，延长交于点，

∵四边形与四边形都为正方形

∴，，．

∴．

∴．

∴，．

∵

∴

即，∴．

∴．

又∵，

∴四边形是等垂四边形．

（2）是等腰直角三角形．

理由如下：如图，延长交于点，

∵四边形是等垂四边形，，

∴，

∴

∵点E,F,G分别是AD,BC,BD的中点

∴，，，，

∴，，．

∴，

∴是等腰直角三角形；

（3）如图，延长交于点分别取的中点，连接，

则，

由（2）可知是等腰直角三角形，

∴

∴

∴．

∴最小值为．