Question

【题目】抛物线与轴交于， ，与轴交于．　

（1）若，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交轴于，在对称轴左侧的抛物线上有一点，使，求点的坐标；

（3）如图2，设， 于，在线段上是否存在点，使？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x-3，对称轴为：x=-1；（2）点E坐标为（-4，5）；（3）m的取值范围是：-4≤m≤4，且m≠0.

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可得解析式，再根据抛物线对称轴公式即可得对称轴；

（2）先求出AC的解析式，然后求出过点D与AC平行的直线解析式，即可得到直线AC向上平移了6个单位长度，再根据可知点E为直线AC向上平移20个单位长度后与抛物线的交点，联立解析式解方程组即可得；

（3）分m>0、m<0两种情况进行讨论即可得.

试题解析：（1）∵与轴交于， ，m=-3，

∴ ，解得 ，

∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3，

对称轴为：x=-1；

（2）∵点A（1，0），C（0，-3），

∴直线AC为y= 3x-3，

∴过点D（-1，0）且平行于AC的直线ll为：y= 3x+3，

∴直线AC向上平移6个单位得到直线l1，

∴将直线AC向上平移个单位得到直线l2：y=3x+17，

联立方程组， ，

解得， ， (不合题意，舍去)，

∴点E坐标为（-4，5）；

（3）设点P（0，y），

①当m＜0时，如图所示，易证△POB～△FPG，得，

∴，

∴m=y2+4y=(y+2)2-4，

∵-4＜y＜0，

∴-4≤m＜0；

②当m＞0时，如图所示，易证△POB～△FPG，得，

∴，

∴m= -y2 -4y= -(y+2)2+4，

∵-4＜y＜0，

∴0＜m≤4，

综上所述，m的取值范围是：-4≤m≤4，且m≠0.