Question

【题目】在正方形ABCD中，过点B作直线l，点E在直线l上，连接CE，DE，CE=BC，过点C作CF⊥DE于点F，交直线l于点H，当l在如图①的位置时，易证：BH+EH=CH（不需证明）．

（1）当l在如图②的位置时，线段BH，EH，CH之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；

（2）当l在如图③的位置时，线段BH，EH，CH之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，不必证明．

Answer 1

【答案】（1）BH﹣EH=CH（2）EH﹣BH=CH

【解析】分析: （1）先判断出∠BCG=∠ECG=∠BCE，再判断出∠ECF=∠DCF=∠DCE，得出∠GCH=∠GCE-∠ECF=（∠BCE-∠DCE）=45°，即：△CGH是等腰直角三角形，进而得出CH=GH进而判断出BG=EG=BE即可得出结论；

（2）同（1）的方法即可得出结论．

详解:

（1）BH﹣EH=CH；

理由如下：

过点C作CG⊥BH于G，

如图②所示，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CB=CD，∠BCD=90°，

∵CE=CB，

∴∠BCG=∠ECG=∠BCE，

∵CE⊥DE，CD=CB=CE，

∴∠ECF=∠DCF=∠DCE，

∴∠GCH=∠GCE﹣∠ECF=（∠BCE﹣∠DCE）=45°

∴△CGH是等腰直角三角形，

∴CH=GH，

∵CB=CE，CG⊥BE，

∴BG=EG=BE，

∴BH﹣EH=BG+GH﹣EH=BG+EG﹣EH﹣EH=2GH=CH

（2）猜想：EH﹣BH=CH，

理由：如图③，过点C作CG⊥BE于G，

同（1）得，△CGH是等腰直角三角形，

CH=GH，

∵CB=CE，CG⊥BE，

∴BG=EG=BE，

∴EH﹣BH=HG+GE﹣（BG﹣HG）=2HG=CH．

点睛: 本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；求出∠GCH=45°是解本题的关键.