Question

【题目】为了全面推进素质教育，增强学生体质，丰富校园文化生活，高新区某校将举行春季特色运动会，需购买A，B两种奖品.经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元．

(1)求A、B两种奖品的单价各是多少元；

(2)运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？

(3)在第(2)问的条件下，设计出购买奖品总费用最少的方案,并求出最小总费用.

Answer 1

【答案】（1）A奖品的单价是10元/件，B奖品的单价是15元/件；（2）共有8种购买方案；（3）购买总费用最少的方案是购买A奖品75件、B奖品25件，最小费用为1125元．

【解析】

（1）设A奖品的单价是x元/件，B奖品的单价是y元/件，根据“若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种奖品m件，购买总费用W元，则购买B种奖品（100-m）件，根据总价=单价×购买数量，即可得出W关于m的函数关系式，再根据购买费用不超过1160元且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，即可求出购买方案；

（3）在（2）的基础上，利用一次函数的增减性质即可解决最值问题．

解：（1）设A奖品的单价是x元/件，B奖品的单价是y元/件，
根据题意，得：

解得：

答：A奖品的单价是10元/件，B奖品的单价是15元/件．
（2）设购买A种奖品m件，购买总费用W元，则购买B种奖品（100-m）件，
根据题意，得：W=10m+15（100-m）=-5m+1500．
∵购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，

∴

解得：68≤m≤75，
∴W=-5m+1500（68≤m≤75）．

∵m为正整数，∴m=68、69、70、71、72、73、74、75，即共有8种购买方案；

（3）由（2）得：W=-5m+1500（68≤m≤75）．

∵k=-5＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m=75时，W取最小值，最小值=-5×75+1500=1125，此时100-m=100-75=25．
答：购买总费用最少的方案是购买A奖品75件、B奖品25件，最小费用为1125元．