Question

【题目】如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD= ．
（1）求证：CD∥BF；
（2）求⊙O的半径；
（3）求弦CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BF是⊙O的切线，

∴AB⊥BF，

∵AB⊥CD，

∴CD∥BF

（2）解：连接BD，∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD= ，

∴cos∠BAD= ，

又∵AD=3，

∴AB=4，

∴⊙O的半径为2

（3）解：∵∠BCD=∠DAE，

∴cos∠BCD=cos∠DAE= ，AD=3，

∴AE=ADcos∠DAE=3× = ，

∴ED= ，

∴CD=2ED= ．

【解析】（1）由BF是⊙O的切线得到AB⊥BF，而AB⊥CD，由此即可证明CD∥BF；（2）连接BD，由AB是直径得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD= ，所以cos∠BAD= ，然后利用三角函数即可求出⊙O的半径；（3）由于cos∠DAE= ，而AD=3，由此求出AE，接着利用勾股定理可以求出ED，也就求出了CD．