Question

【题目】将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中， O(0，0) ， A(6，0) ， C(0，3) .动点Q 从点O 出发以每秒 1 个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动秒时，动点 P 从点A 出发以相等的速度沿 AO 向终点O 运动。当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设点 P 的运动时间为t （秒）.

（1）用含t 的代数式表示OP，OQ ；

（2）当t 1时，如图 1，将△OPQ 沿 PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点 D 处，求点 D 的坐标；

（3）连结 AC ，将△OPQ 沿 PQ 翻折，得到△EPQ ，如图 2.问： PQ 与 AC 能否平行？ PE 与 AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由.

Answer 1

【答案】（1） OP 6 t ， OQ t （2）D(1，3)；（3）① PQ 能与 AC 平行，t ，② PE 不能与 AC 垂直，理由见解析.

【解析】

(1)由O(0,0)，A(6,0)，C(0,3)，可得：OA=6，OC=3，根据矩形的对边平行且相等，可得：AB=OC=3，BC=OA=6，进而可得点B的坐标为：(6,3)，然后根据P点与Q点的运动速度与运动时间即可用含t的代数式表示OP，OQ；

(2)由翻折的性质可知：△OPQ≌△DPQ，进而可得：DQ=OQ，然后由t=1时，DQ=OQ=，CQ=OCOQ=，然后利用勾股定理可求CD的值，进而可求点D的坐标；

（3）① PQ 能与 AC 平行。若 PQ ∥ AC ，得到，t ；② PE 不能与 AC 垂直。若 PE AC ，延长QE 交OA 于 F，得到，t 3.45 ，即可解答

（1）∵O(0,0)，A(6,0)，C(0,3)，

∴OA=6，OC=3，

∵四边形OABC是矩形，

∴AB=OC=3，BC=OA=6，

∴B(6,3)，

∵动点Q从O点以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动23秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．

∴当点P的运动时间为t(秒)时，

AP=t，OQ t ，

则OP=OAAP=6t；

（2）当t 1时，过 D 点作 DD1 OA ，交OA 于 D1 ，如图 1，

则 DQ QO=， QC ,

CD 1 ， D(1，3)

（3）① PQ 能与 AC 平行.若 PQ ∥ AC ，如图 2，

则,

即，

t ，而0 ≤ t ≤ ，

t ，

② PE 不能与 AC 垂直。

若 PE AC ，延长QE 交OA 于 F ，如图 3，

QF ，

EF QF QE QF OQ (t - (t =(

又Rt△EPF ∽ Rt△OCA ，

，

t 3.45 .

而0 ≤ t ≤.

∴ t 不存在.