Question

【题目】已知a，b为有理数，且a，b不为0，则定义有理数对（a，b）的“真诚值”为d（a，b）＝，如有理数对（3，2）的“真诚值”为d（3，2）＝23﹣10＝﹣2，有理数对（﹣2，5）的“真诚值”为d（﹣2，5）＝（﹣2）5﹣10＝﹣42．

（1）求有理数对（﹣3，2）与（1，2）的“真诚值”；

（2）求证：有理数对（a，b）与（b，a）的“真诚值”相等；

（3）若（a，2）的“真诚值”的绝对值为|d（a，2）|，若|d（a，2）|＝6，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）d（﹣3，2）的“真诚值”为﹣1，d（1，2）的“真诚值”为﹣9；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】

（1）根据题目中的新定义，可以求得有理数对（﹣3，2）与（1，2）的“真诚值”；

（2）根据题意分类讨论当a＞b时和当a＜b时，再结合新定义进行证明结论；

（3）由|d（a，2）|＝6，得到d（a，2）＝±6，分d（a，2）＝6和d（a，2）＝﹣6时进行讨论即可得到答案.

（1）d（﹣3，2）＝（﹣3）2﹣10＝9﹣10＝﹣1，d（1，2）＝12﹣10＝1﹣10＝﹣9；

（2）证明：由题知：

ⅰ当a＞b时，因为d（a，b）＝ba﹣10，d（b，a）＝ba﹣10，

所以d（a，b）＝d（b，a）；

ⅱ当a＜b时，因为d（a，b）＝ab﹣10，（b，a）＝ab﹣10，

所以d（a，b）＝d（b，a）；

综合所得：d（a，b）＝d（b，a）；

（3）因为|d（a，2）|＝6，所以d（a，2）＝±6，

ⅰ、若d（a，2）＝6，

当a＞2 时，2a﹣10＝6，2a＝16，得a＝4成立；

当a＜2 时，a2﹣10＝6，a2＝16，得a＝±4，

因为a＜2，所以a＝﹣4；

ⅱ、若d（a，2）＝﹣6时

当a＞2 时，2a﹣10＝﹣6，2a＝4，得a＝2不成立；

当a＜2 时，a2﹣10＝﹣6，a2＝4，得a＝±2，

因为a＜2，所以a＝﹣2；

由上可得，a＝﹣2或±4．