Question

【题目】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线．

（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；

（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；

（3）点P在直线上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）∴y=﹣x2+2x+3，对称轴为直线x=1，顶点M（1，4）；（2）证明见解析; （3）P1（1，﹣4+2），P2（1，﹣4﹣2）．

【解析】试题分析：（1）将A、C两点坐标代入解析式即可求出，将解析式配成顶点式即可得到对称轴方程和顶点坐标；
（2）先由C、M两点坐标求出直线CM解析式，进而求出D点坐标，由于C、N两点关于抛物线对称轴对称，则CN∥AD，同时可求出N点坐标，然后得出CN=AD，结论显然；
（3）设出P点纵坐标，表示出MP的长度，过点P作于H，表示出PH的长度，在Rt△APE中中用勾股定理列出方程，解之即得答案．

试题解析：(1)∵抛物线经过点A(1,0)和点C(0,3)，

对称轴为直线x=1,顶点M(1,4)；

(2)如图1，

∵点C关于直线l的对称点为N，

∴N(2,3)，

∵直线y=kx+b经过C.M两点，

∴

∴

∴y=x+3，

∵y=x+3与x轴交于点D，

∴D(3,0)，

∴AD=2=CN

又∵ADCN，

∴CDAN是平行四边形；

(3)设P(1,a)，过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图2，

则MP=4a，

又

Rt△APE中,