Question

【题目】如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3 ，MN=2 ．

（1）求∠COB的度数；
（2）求⊙O的半径R；
（3）点F在⊙O上（ 是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AE切⊙O于点E，

∴AE⊥CE，又OB⊥AT，

∴∠AEC=∠CBO=90°，

又∠BCO=∠ACE，

∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°，

∴∠COB=∠A=30°

（2）

解：∵AE=3 ，∠A=30°，

∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°= ，即EC=AEtan30°=3，

∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2 ，

∴MB= MN= ，

连接OM，在△MOB中，OM=R，MB= ，

∴OB= = ，

在△COB中，∠BOC=30°，

∵cos∠BOC=cos30°= = ，

∴BO= OC，

∴OC= OB= ，

又OC+EC=OM=R，

∴R= +3，

整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，

解得：R=﹣23（舍去）或R=5，

则R=5

（3）

解：以EF为斜边，有两种情况，以EF为直角边，有四种情况，所以六种，

画直径FG，连接EG，延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示：

∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，

∴FD=5 ，

则C△EFD=5+10+5 =15+5 ，

由（2）可得C△COB=3+ ，

∴C△EFD：C△COB=（15+5 ）：（3+ ）=5：1．

∵EF=5，直径FG=10，可得出∠FGE=30°，

∴EG=5 ，

则C△EFG=5+10+5 =15+5 ，

∴C△EFG：C△COB=（15+5 ）：（3+ ）=5：1

【解析】（1）由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE与CE垂直，又OB与AT垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数；（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB垂直于MN，由垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在直角三角形OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE﹣OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值；（3）把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合，在EF的同一侧，这样的三角形共有3个．延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示，由第二问求出半径，的长直径ED的长，根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD为直角三角形，由∠FDE为30°，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出三角形EFD的周长，再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比．