Question

【题目】如图，在等边三角形ABC中，AB=12cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AC匀速运动，动点Q同时从点B出发以同样的速度沿CB的延长线方向匀速运动，当点P到达点C时，点P，Q同时停止运动.设运动时间为ts，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.

⑴当t为何值时，△CPQ为直角三角形？

⑵求DE的长.

⑶取线段BC的中点M，连接PM，将△CPM沿直线PM翻折，得到△C，PM，连接AC，，当t= 时，AC，的值最小，最小值为 .

Answer 1

【答案】（1）4；（2）6；（3），

【解析】

（1）由△ABC是等边三角形，可知∠C=60°，再由CQ=2CP列式即可求得t的值；

（2）过点Q作QF⊥AB交AB的延长线于F，易证△PEA≌△QFB(AAS)，则EF=AB=12cm，易证△PED≌△QFD(AAS)，DE=DF，即可求得DE=EF=6；

（3）分析可知，点的轨迹为如图所示，过点P作PN⊥MN，当A，，M三点共线时，有最小值，再根据等边三角形性质及直角三角形性质求解即可．

解：(1)∵△ABC是等边三角形，

∴∠C=60°，

∴当CQ=2CP时，∠CPQ=90°，

∴12+t=2(12-t)，

∴t=4，

∴t=4时，△CPQ是直角三角形．

(2)如图，过点Q作QF⊥AB交AB的延长线于F，

∵PE⊥AB，

∴∠PEA=∠F=90°，

∵PA=QB，∠A=∠ABC=∠QBF=60°，

∴△PEA≌△QFB(AAS)，

∴AE=BF，

∴EF=AB=12cm，

∵∠PED=∠F=90°，∠PDE=∠QDF，PE=QF，

∴△PED≌△QFD(AAS)，

∴DE=DF，

∴DE=EF=6．

(3)分析可知，点的轨迹为如图所示，过点P作PN⊥MN，

∴当A，，M三点共线时，有最小值，

∵△ABC为等边三角形，M为BC中点，

∴AM⊥BC，∠ACM=60°，

∴，

∴,

又∵，

∴，

设，则，

∴，

又∵，

∴，

∴，

解得：，

∴，

∴，

∴

∴，

即当时，AC，的值最小，最小值为，

故答案为：，．