Question

【题目】已知，如图，在△ABC中，AE是角平分线，D是AB上的点，AE、CD相交于点F．
（1）若∠ACB=∠CDB=90°，求证：∠CFE=∠CEF；
（2）若∠ACB=∠CDB=m（0°＜m＜180°）． ①求∠CEF﹣∠CFE的值（用含m的代数式表示）；
②是否存在m，使∠CEF小于∠CFE，如果存在，求出m的范围，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠B=90°﹣∠DCB，∠ACD=90°﹣∠DCB，

∴∠B=∠ACD．

∵AE平分∠CAB，

∴∠CFE=∠ACD+ ∠CAB，∠CEF=∠B+ ∠CAB，

∴∠CFE=∠CEF

（2）解：①∵∠CFE=∠ACD+ ∠CAB，∠CEF=∠B+ ∠CAB，

∴∠CFE﹣∠CEF=∠B﹣∠ACD．

∵∠B=180°﹣m﹣∠DCB，∠ACD=m﹣∠DCB，

∴∠CEF﹣∠CFE=（180°﹣m﹣∠DCB）﹣（m﹣∠DCB）=180°﹣2m；

②存在．

∵要使∠CEF小于∠CFE，则∠CEF﹣∠CFE＜0，

∴180°﹣2m＜0，解得m＞90°，

∴当90°＜m＜180°时，∠CEF的值小于∠CFE

【解析】（1）先根据∠ACB=∠CDB=90°得出∠B=90°﹣∠DCB，∠ACD=90°﹣∠DCB，再由AE平分∠CAB即可得出结论；（2）①根据三角形外角的性质可得出∠CFE=∠ACD+ ∠CAB，∠CEF=∠B+ ∠CAB，故∠CFE﹣∠CEF=∠B﹣∠ACD，再由∠B=180°﹣m﹣∠DCB，∠ACD=m﹣∠DCB即可得出结论；②根据∠CEF小于∠CFE可知∠CEF﹣∠CFE＜0，故180°﹣2m＜0，进而可得出结论．
【考点精析】利用三角形的内角和外角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．