Question

【题目】如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM=50°，则∠AOB=（ ）

A.40°
B.45°
C.50°
D.55°

Answer 1

【答案】A
【解析】解：作P关于OA，OB的对称点P1 ， P2 ． 连接OP1 ， OP2 ． 则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，
∵PP1关于OA对称，
∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°
同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2 ，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N=∠OP1M=50°，
∴∠P1OP2=180°﹣2×50°=80°，
∴∠AOB=40°，
故选A．

【考点精析】掌握轴对称-最短路线问题是解答本题的根本，需要知道已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．